Два уравнения аэродинамики

Течение газа или жидкости выражается двумя важными уравнениями: уравнением неразрывности течения и уравнением Бернулли.

Ознакомимся с ними на примерах.

Уравнение неразрывности течения, или, как его иногда называют, уравнение постоянства расхода или оплошности потока.

Посмотрим на реку, спокойно текущую по равнине. У реки в этом месте большая площадь поперечного сечения, или, как говорят, большое живое сечение. Но вот река входит в зажатое берегами русло, площадь её поперечного сечения уменьшается и бег ускоряется.

Зададим себе вопрос: почему в узком месте река стала течь быстрее? Для этого поинтересуемся расходом воды, помня, что под словом расход понимается количество воды, прошедшее через данное поперечное сечение за единицу времени. Если вода течёт неразрывно и никуда в сторону не уходит, то расход воды у большого и малого поперечных сечений реки одинаков. Поэтому, чтобы через малое поперечное сечение прошло столько же воды, сколько и через большое, воде приходится ускорять свой бег.

Так же, как вода в реке, ведёт себя поток жидкости или газа при движении по трубам или при обтекании различных тел. В узком месте движение ускоряется, в широком месте замедляется.

В основе уравнения неразрывности лежит закон Ломоносова о сохранении вещества. Например, сколько воздуха вошло в аэродинамическую трубу, столько же должно из неё и выйти.

Количество воздуха, вошедшее за 1 сек в канал трубы, подсчитать нетрудно. Для этого надо площадь попе-

речного сечения умножить на скорость и на массовую плотность воздуха (рис. 2).

Таким образом, получим:

Два уравнения аэродинамики

Приравнивая правые части уравнений, получим уравнение неразрывности:

Два уравнения аэродинамики

Два уравнения аэродинамики

Рис. 2. К выводу уравнения неразрывности течения.

Сократив на р, будем иметь

Два уравнения аэродинамики

или:

Два уравнения аэродинамики

т. е. скорость течения обратно пропорциональна площади поперечного сечения потока.

Уравнение Бернулли. Этим уравнением широко пользуются при аэродинамических расчётах. Оно получено выдающимся учёным физиком и математиком, членом Петербургской академии наук Даниилом Бернулли (1700—1782).

Уравнение Бернулли можно пояснить на примере суживающегося трубопровода, через который течёт газ (рис. 3).

В узком сечении трубы скорость больше, чем в широком, поэтому в сужающейся трубе газ движется ускоренно. Ускоренное движение возможно только под действием силы. Эта сила создаётся разностью давлений. Следовательно, давление в широкой части трубы должно быть больше, чем в узкой.

Объём входящего в сечение 1—1 газа за время t равен:

Два уравнения аэродинамики

Два уравнения аэродинамики

Рис. 3. К выводу уравнения Бернулли.

Объём выходящего газа через сечение 2—2 за то же время t  равен:

Два уравнения аэродинамики

Работа втекающего газа, идущая на преодоление сил давления, равна:

Два уравнения аэродинамики

где сила F1=P1S1; Р1 — статическое давление в сечении 1 — 1.

Работа вытекающего газа равна:

Два уравнения аэродинамики

где сила F2 = P2S2; Р2 — статическое давление в сечении 2—2.

Кинетическая энергия втекающего газа равна:

Два уравнения аэродинамики

Кинетическая энергия вытекающего газа равна:

Два уравнения аэродинамики

где масса газа m = S2v2ρt.

На основании закона сохранения энергии, приравнивая полные энергии объёмов втекающего и вытекающего газа, получим равенство:

Два уравнения аэродинамики

и принимая во внимание, что объёмы втекающего и вытекающего газа равны:

Два уравнения аэродинамики

получим после сокращения:

Два уравнения аэродинамики

Это и есть уравнение Бернулли (справедливое в таком  виде для дозвукового течения)ю

Два уравнения аэродинамики

Статическое давление можно представить как давление на поверхность (стенку), вдоль которой движется газ. Его можно измерить мерной трубкой, плоскость отверстия которой параллельна течению (рис. 4).

Скоростной напор, или, как его ещё называют, динамическое или скоростное давление, можно представить себе как давление газа на ту поверхность тела, которая обращена к потоку.

Два уравнения аэродинамики

Рис. 4. Скорость потока в сечении I—I мала — статическое давление большое; в сечении II—II скорость увеличилась — статическое давление

уменьшилось.

Сумма статического и динамического давления называется полным давлением. Полное давление можно измерить, если внутрь потока ввести мерную трубку, у которой конец загнут и обращён против набегающего потока.

Скоростной напор определяется по разности между давлением в трубке полного давления и статическим давлением.

Полное давление в любом сечении остаётся постоянным, когда силами трения можно пренебречь.

С увеличением скорости течения растёт скоростной напор. А что будет происходить со статическим давлением при увеличении скорости? Очевидно, оно должно уменьшиться, иначе полное давление не будет сохраняться постоянным. Зависимость между скоростью и статическим давлением можно проиллюстрировать на ряде примеров.

Два уравнения аэродинамики

Рис. 5а. Скорость воды, обтекающей два близко идущих корабля, между кораблями больше, чем снаружи, следовательно, статическое давление воды между кораблями меньше, чем снаружи.

При встрече двух кораблей, идущих параллельным курсом (рис. 5а), в пространстве между кораблями относительная скорость движения воды больше, чем снаружи, а поэтому статическое давление между кораблями будет меньше наружного; под действием этой разности давлений корабли начнут сближаться друг с другом, и может произойти столкновение. При аналогичных условиях в 1912 г. погиб английский пароход «Олимп», когда он со слишком большой скоростью обгонял другой пароход.

То же самое вы можете проверить на доступном всем опыте. Возьмите два листка плотной бумаги, изогните их полукругом и попробуйте дуть между ними. К своему удивлению вы заметите, что листки будут не расходиться друг от друга, а сходиться (рис. 56).

Интересно проделать и другой опыт. Если взять свёрнутый лист бумаги (рис. 5в) и подуть поверх него, он выпрямляется.

В сильный ураган повышение скорости воздуха над коньком крыши дома приводит к тому, что над крышей создаётся разрежение и большая величина давления воздуха под крышей создаёт

Два уравнения аэродинамики

Рис. 5б. Между листочками давление меньше, чем снаружи, следовательно, листочки сближаются.

Два уравнения аэродинамики

Рис. 5в. Если дуть поверх свёрнутого листка бумаги, то под влиянием разности давлений он выпрямится.

Два уравнения аэродинамики

Рис. 5г. Ветер, вызывая разность статических давлений, приводит к образованию подъёмной силы у крыши.

подъёмную силу, которая может сорвать крышу (рис. 5г).

Смотрите также